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I consigli di una storia

Entriamo in ancora uno termine che tocca qualsiasi lingua L e qualsiasi serie di T di giudizi della lingua L. una serie di giuntura di T se c'è il suo modello cioè se c'è un'interpretazione di lingua L in quello che tutte le formule da T. Teper sono vere tutto che è pronto a formulare il teorema di compattezza di Maltsev.

Definiamo l'aggiunta e la moltiplicazione su numeri reali hyper. Lasci la classe contenere la successione, una classe - la successione. Chiamiamo la somma di classi e la classe che contiene la successione e la successione di lavoro. La correttezza di queste definizioni è fornita la proprietà 4 di definizione dell'ultrafiltro.

Lasci il set di caratteri quali elementi chiameremo simboli di predicato e una serie quali elementi chiameremo simboli funzionali esser fissati. Lasci alcun numero naturale chiamato da numero di argomenti o la valenza, il simbolo corrispondente essere rispetto a ogni predicato e simbolo funzionale. In quel caso dicono che alcuna lingua è messa.

Definizione di un punto di limite. Il numero standard è chiamato come un punto di limite di successione se alcuni membri infinitamente lontani di successione sono infinitamente vicino a, cioè c'è un tal numero naturale hyper non standardizzato che la differenza è infinitamente piccola.

Diciamo che le successioni sono equivalenti se l'uguaglianza "è eseguita quasi affatto io", cioè Se una serie di quelli io, a quale, grande. Secondo proprietà 5 qualsiasi successione che differisce in numero finale di membri è equivalente. La sua classe di equivalenza - una classe di tutte le successioni equivalenti a esso è comparabile a ogni successione. Le classi giranti fuori di equivalenza saranno chiamate come hyper i numeri reali. I numeri reali ordinari sono messi in una serie di numeri reali hyper. Così, * il R appare siccome anche abbiamo voluto questo, l'espansione di una serie di R.

Definiamo il concetto di una formula di questa lingua adesso. Scegliamo e registrerà la successione infinita dei simboli chiamati da variabili. Lasci saranno per esempio simboli definirà al concetto cominciante di un termine. (T qualsiasi variabile e qualsiasi simbolo funzionale con argomenti zero un'essenza definisce;

Diamo ancora due esempi di "definizioni non standardizzate" di concetti standard. Lasci - la successione di numeri reali, o, in altre parole, la funzione da N in R. Il suo analogo non standardizzato rappresenta la funzione da * N in * R; è naturale designare il valore di questa funzione su numero naturale hyper il m.

Adesso siamo capaci di dire precisamente che chiamiamo numeri reali hyper., qualsiasi interpretazione di P ha considerato lingue RL in cui gli stessi giudizi, che in interpretazione standard ma per quale l'assioma di Archimedes non è eseguito sono veri è chiamato come sistema di numeri reali hyper. Gli elementi del corriere di questa interpretazione sono anche chiamati come hyper i numeri reali. Così, forse ci sono molti sistemi di numeri reali hyper.

( se t e termini di s, (t=s) - una formula; ( se - termini, e P - un simbolo di predicato con m di argomenti, P) - una formula; se P - un simbolo di predicato con argomenti zero, P - una formula; ( se la formula P e Q-, - formule; ( se P - una formula, e - una variabile, e - formule.

Ci sono due strade della prova. Uno di loro usa ultrafiltri nonbanali, e altro metodo consiste in applicazione di uno dei teoremi centrali di logica - i teoremi di Gödel-Malzew di completezza, lo considereremo in modo più dettagliato. Il concetto di deductibility di questo giudizio da questa serie di giudizi di T. Vyvodimost da T è definito i mezzi che c'è una successione di formule, ciascuna di cui appartiene a T o alla serie in anticipo fissata, o gira fuori dai membri preandanti di successione secondo regole certe, e l'ultima formula di questa successione è la formula. La successione di formule che possiedono le proprietà descritte è chiamata come una conclusione di formula da una serie di formule T.

Dunque, siamo entrati in aggiunta, moltiplicazione e un ordine di una serie di numeri reali hyper. È facile da controllare che abbiamo ricevuto il campo ordinato, cioè che in una serie di numeri reali hyper tutte le proprietà solite di aggiunta, moltiplicazione e un ordine sono effettuate. L'assioma di Archimedes, comunque, in questo campo non è effettuato.